【题目】已知函数,则(ⅰ)
____________.
(ⅱ)给出下列三个命题:①函数是偶函数;②存在
,使得以点
为顶点的三角形是等腰三角形;③存在
,使得以点
为顶点的四边形为菱形.
其中,所有真命题的序号是____________.
【答案】 1 ①③
【解析】(ⅰ)由题可知,所以
.
(ⅱ)①若为有理数,则
也为有理数,∴
,
若为无理数,则
也为无理数,∴
,
综上有,∴函数
为偶数,故①正确.
②根据可知:假设存在等腰直角三角形
,则斜边
知能在
轴上或在直线
上,且斜边上的高始终是
,不妨假设
在
轴,则
,故点
,
的坐标不可能是无理数,故不存在.另外,当
在
上,
在
轴时,由于
,则
的坐标应是有理数,故假设不成立,即不存在符合题意的等腰直角三角形,故②错误.
③取两个自变量是有理数,使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等,即可画出平行四边形,且对角线互相垂直,所以可以做出点为顶点的四边形为菱形,故③正确.
综上,所有真命题的序号是①③.
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【题目】椭圆:
的离心率为
,过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,右顶点为
,点
是椭圆上的动点,且点
与点
,
不重合,直线
与直线
相交于点
,直线
与直线
相交于点
,求证:以线段
为直径的圆恒过定点.
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【题目】某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:
(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;
(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
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【题目】已知数列,
,
,
满足
,且当
时,
,令
.
(Ⅰ)写出的所有可能的值.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)是否存在数列,使得
?若存在,求出数列
;若不存在,说明理由.
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【题目】如图1, ,
,过动点A作
,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿
将△
折起,使
(如图2所示).
(1)当的长为多少时,三棱锥
的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点
,
分别为棱
,
的中点,试在棱
上确定一点
,使得
,并求
与平面
所成角的大小.
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