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研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间．上课开始时，学生兴趣高，接受能力递增，中间有一段时间学生的兴趣不变，接受能力稳定在某个状态，随后学生的注意力开始分散，接受能力下降．分析结果和实验表明：用f（x）表示学生的接受能力，x表示老师讲课所用的时间（单位：分），可有以下的关系式： $数学公式$
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要不低于55的接受能力，上课开始30分钟内，问能达到该接受能力所要求的时间共有多少分钟？

解：（1）0＜x≤10时，有f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
对称轴x=13在区间（0，10]右边
故当0＜x≤10时，f（x）递增，
最大值为f（10）=-0.1×（-3）²+59.9=59；
显然，当16＜x≤30时，f（x）递减，
f（x）＜-3×16+107=59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟…
（2）依题意，当0＜x≤10时，
令f（x）≥55，则（x-13）²≤49，
∴6≤x≤10；
当10＜x≤16时，f（x）=59符合要求；
当16＜x≤30时，令f（x）≥55，则x≤17 $\text{[math]}$
因此，学生不低于55的接受能力的时间共有17 $\text{[math]}$ -6=11 $\text{[math]}$ （分钟）…
分析：（1）根据已知中的函数解析式，分析出函数的单调性，求出函数的最大值点，及取最大值时，自变量的取值范围，可得答案．
（2）根据题意，构造不等式f（x）≥55，另外根据分段函数的解析式，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．
点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理是解答分段函数时，最常用的方法，它是分类讨论思想在解答函数问题时的简单应用．

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经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：
f（x）=

0.1x2+2.6x+43	，(0＜x≤10)
59	，(10＜x≤16)
-3x+107	，(16＜x≤30)

（1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？
（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？
（3）若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？

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科目：高中数学 来源： 题型：

研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间．上课开始时，学生兴趣高，接受能力递增，中间有一段时间学生的兴趣不变，接受能力稳定在某个状态，随后学生的注意力开始分散，接受能力下降．分析结果和实验表明：用f（x）表示学生的接受能力，x表示老师讲课所用的时间（单位：分），可有以下的关系式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10)

59，(10＜x≤16)

-3x+107，(16＜x≤30).

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要不低于55的接受能力，上课开始30分钟内，问能达到该接受能力所要求的时间共有多少分钟？

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10)

59，(10＜x≤16)

-3x+107，(16＜x≤30).

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