Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，左、右焦点分别为F₁、F₂．
（1）若曲线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点恰是双曲线的右焦点，且交点连线过点F₂，则求双曲线离心率．
（2）过双曲线右焦点F₂且倾斜角为60°的线段F₂M与y轴交于M，与双曲线交于N，已知$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，则求该双曲线的离心率；
（3）若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则求此双曲线离心率的取值范围；
（4）若离心率$e∈[\sqrt{2}，2]$，令双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为平分线的角为θ，则求θ的取值范围；
（5）若存在两条直线x=±m与双曲线相交于A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得 c⁴-6a²c²+a⁴=0等式两边同除以a⁴，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．
（2）先求出M的坐标，由$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，求得N的坐标，把N的坐标代入双曲线方程化简求得离心率 e 的大小．
（3）要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即$\frac{b}{a}$＜tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a和b的不等式关系，进而转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
（4）利用离心率的范围进而求得a和c不等式关系，进而利用a，b和c的关系求得a和b的不等式关系，进而求得渐近线斜率k的范围，利用k=tan$\frac{θ}{2}$确定tan$\frac{θ}{2}$的范围，进而确定θ的范围．

解答 解：（1）由题意，∵两条曲线交点的连线过点F
∴两条曲线交点为（$\frac{p}{2}$，p），
代入双曲线方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又$\frac{p}{2}$=c
代入化简得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1；
（2）线段F₂M所在直线的斜率为 tan60°=$\sqrt{3}$，方程为y-0=$\sqrt{3}$（x-c），
∴M（0，-$\sqrt{3}$c）．   
设N （m，n ），则
∵$\overrightarrow{M{F_2}}=4\overrightarrow{N{F_2}}$，
∴（c，$\sqrt{3}$c）=4（c-m，-n），
∴c=4c-4m，$\sqrt{3}$c=-4n，∴m=$\frac{3c}{4}$，n=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴N（$\frac{3c}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$c），
把N的坐标代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，整理得9c⁴-28a²c²+16a⁴=0，
∴9e⁴-28e²+16=0，
∵e＞1，∴e²=（$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$）²，∴e=$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$；
（3）要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即$\frac{b}{a}$＜tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴b＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∵$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得e＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵双曲线中e＞1，∴e的范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（4）根据定义e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
∵e∈[$\sqrt{2}$，2]．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$b≤a≤b
而渐近线的斜率k=$\frac{b}{a}$，∴1≤k≤$\sqrt{3}$
所以45°≤$\frac{θ}{2}$≤60°
所以 90°≤θ≤120°，即[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意与椭圆的区别．