Question

2．如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有k_OC=k_OM，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由C是AB的三等分点（靠近点B），
可得C（$\frac{a}{1+2}$，$\frac{2b}{1+2}$），即（$\frac{a}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
由O，C，M共线，可得k_OC=k_OM，
即为$\frac{2b}{a}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}$，即有b=2c，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$c，则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题．