【题目】(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
【答案】(1)因为,消去参数,得,即,
故极坐标方程为;
(2)的普通方程为,联立、的方程,解得或,所以交点的极坐标为.
【解析】
试题分析:(1) 先根据同角三角函数关系cos2t+sin2t=1消参数得普通方程:(x-4)2+(y-5)2=25 ,再根据将普通方程化为极坐标方程:(2)将代入得得,也可利用直角坐标方程求交点,再转化为极坐标
试题解析: (1)∵C1的参数方程为
∴(x-4)2+(y-5)2=25(cos2t+sin2t)=25,
即C1的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25,
把代入(x-4)2+(y-5)2=25,
化简得:.[Z.X.X.K]
(2)C2的直角坐标方程为x2+y2=2y,C1的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25,
∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1),(0,2).
∴C1与C2交点的极坐标为.
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【题目】如图,正三棱柱中为的中点。
(1)求证:;
(2)若点为四边形内部及其边界上的点,且三棱锥的体积为三棱柱体积的,试在图中画出点的轨迹,并说明理由。
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【题目】等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列,若=1,Sn是{}的前n项和,则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
成等比数列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比数列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】设是公比为正数的等比数列,,
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和
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【题目】设a≠b,解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
【答案】{x|0≤x≤1}.
【解析】
将原不等式化简为(a-b)2(x2-x) ≤0,由条件得到系数(a-b)2>0,直接解出不等式x2-x≤0即可.
解:将原不等式化为
(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,
移项,整理后得 (a-b)2(x2-x) ≤0,…
∵ a≠b 即 (a-b)2>0,
∴ x2-x≤0,
即 x(x-1) ≤0.
解此不等式,得解集 {x|0≤x≤1}.
【点睛】
本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法;解题时要注意公式的灵活运用.对于含参的二次不等式问题,先判断二次项系数是否含参,接着讨论参数等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能够因式分解则进行分解,再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知与的等比中项为,且与的等差中项为1,求数列{an}的通项公式。
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【题目】教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数为方便计算,2008年编号为1,2009年编号为2,,2017年编号为10,以此类推数据如下:
年份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 3 | 5 | 8 | 11 | 13 | 14 | 17 | 22 | 30 | 31 |
Ⅰ根据前5年的数据,利用最小二乘法求出y关于x的回归方程,并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值;
Ⅱ根据Ⅰ所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数.
其中,
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【题目】在极坐标系中,极点为O,点A的极坐标为(2, ),以OA为斜边作等腰直角三角形OAB(其中O,A,B按逆时针方向分布)
(1)求点B的极坐标;
(2)求三角形外接圆的极坐标方程.
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