Question

已知关于x、y的二元一次不等式组

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

，求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：作出二元一次不等式组

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

表示的平面区域，如图所示：
由z=x+2y+2，得y=-

1

2

x+

1

2

z-1，得到斜率为-

1

2

，
在y轴上的截距为

1

2

z-1，随z变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距

1

2

z-1最小，即z最小，
解方程组

x-y=1 x+2=0

得A（-2，-3），
∴z_min=-2+2×（-3）+2=-6．
当直线与直线x+2y=4重合时，截距

1

2

z-1最大，即z最大，
∴z_max=4+2=6．
∴z=x+2y+2的最大值是6，最小值是-6．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．