【题目】如图,已知四棱锥,底面为菱形,,,平面,分别是的中点。
(1)证明:;
(2)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)证明,利用平面即可证得,问题得证。
(2)过点作于点,过点作于点,连接.当与垂直时,与平面所成最大角,利用该最大角的正切值为即可求得,证明就是二面角的一个平面角,解即可。
(1)因为底面为菱形,
所以为等边三角形,又为中点
所以,又
所以
因为平面,平面
所以,又
所以平面
(2)过点作于点,过点作于点,连接
当与垂直时,与平面所成最大角.
由(1)得,此时.所以就是与平面所成的角.
在中,由题意可得:,又
所以.
设,在中由等面积法得:
解得:,所以
因为平面,平面
所以平面平面,
又平面平面,,平面
所以平面,又平面
所以,又,
所以平面,
所以
所以就是二面角的一个平面角
因为为的中点,且
所以,又
所以
在中,求得:,,
由可得:,即:,解得:
所以
所以
所以二面角的余弦值为
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【题目】已知圆经过点,且圆心在直线:上.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆交于两点,问在直线上是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣ ),其中0<ω<3,已知f( )=0.(12分)
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣ , ]上的最小值.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 .
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(13分)
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
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【题目】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量,与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数、、为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?说明理由.
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【题目】如图,,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路,小城位于小城的东北方向,直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上),与,围成三角形区域.
(1)设,,求三角形区域周长的函数解析式;
(2)现计划开发周长最短的三角形区域,求该开发区域的面积.
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