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【题目】如图,已知四棱锥,底面为菱形,,平面分别是的中点。

(1)证明:

(2)若上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)证明,利用平面即可证得,问题得证。

2)过点于点,过点于点,连接.垂直时,与平面所成最大角,利用该最大角的正切值为即可求得,证明就是二面角的一个平面角,解即可。

1)因为底面为菱形,

所以为等边三角形,又中点

所以,又

所以

因为平面平面

所以,又

所以平面

2)过点于点,过点于点,连接

垂直时,与平面所成最大角.

由(1)得,此时.所以就是与平面所成的角.

中,由题意可得:,

所以.

,在中由等面积法得:

解得:,所以

因为平面平面

所以平面平面

又平面平面平面

所以平面,又平面

所以,又

所以平面

所以

所以就是二面角的一个平面角

因为的中点,且

所以,又

所以

中,求得:,,

可得:,即:,解得:

所以

所以

所以二面角的余弦值为

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