Question

在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，-1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂，

FB1

•

FB2

=2b2．
（1）求a、b的值；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R．过原点O且平行于l．试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出

FB1

 和

FB2

的坐标，根据

FB1

•

FB2

=2b2 以及椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A（-2，-1），列出方程组求得a、b的值．
（2）把直线l的方程和椭圆的方程联立方程组求得 x_Q+2=

8k+4

4k2+1

．把OP的方程和椭圆的方程联立方程组求得xP2=

8

1+4k2

．根据AO•AR=3OP²，求得k的值，从而求得直线l的方程．

解答：解：（1）由题意可得 F（-c，0）、B₁ （0，-b）、B₂（0，b），
∴

FB1

=（c，-b）、

FB2

=（c，b）．
∵

FB1

•

FB2

=2b2∴c²-b²=2b² ①．
由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A（-2，-1），∴

4

a2

+

1

b2

=1 ②．
由①②可解得 a=2

2

，b=

2

．
（2）设直线l的方程为 y+1=k（x+2），由

y+1=k(x+2) x2 8 + y2 2 =1

可得 （x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0．
由于x+2≠0，∴x+2=

8k+4

4k2+1

，即 x_Q+2=

8k+4

4k2+1

．
由题意可得，OP的方程为y=kx，由

y=kx x2 8 + y2 2 =1

 可得 （1+4k²）x²=8，∴xP2=

8

1+4k2

．
∵AO•AR=3OP²，∴|x_Q-（-2）|×|0-（-2）|=3xP2，即

8k+4

4k2+1

×2=3×

8

1+4k2

，
解得k=1，或 k=-2．
当k=1时，直线l的方程为 x-y+1=0．当k=-2时，直线l的方程为 2x+y+5=0．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，直线和圆锥曲线的关系，韦达定理的应用，属于中档题．