Question

已知

a

=(

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）当x∈[

π

3

，

7π

12

]时，

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，求cos2x；
（Ⅱ）当[

5π

12

，

13π

12

)时，关于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，化简得到表达式，x∈[

π

3

，

7π

12

]，推出2x-

π

6

∈[

π

2

，π]，利用cos2x=cos[（2x-

π

6

）+

π

6

]求解即可；
（Ⅱ）利用x∈[

5π

12

，

13π

12

)时，推出sin(2x-

π

6

)∈[-1，

3

2

]，关于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一个实根，就是函数图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈[

π

3

，

7π

12

]，∴2x-

π

6

∈[

π

2

，π]，

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，即

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

4

5

∴cos(2x-

π

6

)=-

3

5

∴cos2x=cos[(2x-

π

6

)+

π

6

]=-

4+3 3

10

（Ⅱ）当x∈[

5π

12

，

13π

12

)时，2x-

π

6

∈[

2π

3

，2π)，∴sin(2x-

π

6

)∈[-1，

3

2

]

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一个实根，令X=2x-

π

6

，在坐标系中画出y=sinX的图象与y=m的图象，图象只有一个交点，
由图可得：m=-1或0≤m≤

3

2

点评：本题是中档题，考查三角函数值的求法，平面向量的数量积的应用，数形结合求出函数的图象的交点与方程的根的关系，考查计算能力．