Question

【题目】设数列的前n项和为，已知（p、q为常数， ），又， ， .

（1）求p、q的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正整数m、n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；

（3）存在符合条件的所有有序实数对： 、、、、、.

【解析】试题分析：（1）利用，n取1，2，可得方程组，即可求p、q的值；

（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{an}的通项公式；

（3）先求和，再化简不等式，确定m的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m，n）．

试题解析：

（1）由题意，知，解之得

（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，①

当n≥2时，Sn=Sn﹣1+2，②

①﹣②得，an+1=an（n≥2），

又a2=a1，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，

所以an=．

（3）由（2）得，=，

由，得，即，

即，

因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，

所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①

因为m∈N*，所以m=1或2或3。

当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；

当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；

当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．