Question

(本题满分14分)．有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个边长为的小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的容积V₁（用表示）；
(2)经过设计（1）的方法，计算得到当时，V_l取最大值，为了材料浪费最少，工人师傅还实践出了其它焊接方法，请写出与（1）的焊接方法更佳（使材料浪费最少，容积比V_l大）的设计方案，并计算利用你的设计方案所得到的容器的容积。

Answer 1

略

(1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为



4—2x，高为x，
∴V_l＝(4—2x)²x＝4(x³一4x²＋4x)  (0＜x＜2)　　    7分
(2) 能设计出比（1）的方案更佳的方案；          8分
具体如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．              11分
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂＝3×2×1＝6，
显然V₂＞V_l.                          13分
故第二种方案符设计得到的容积为6．   14分
第（2）问给分情况说明：
（1）本题是开放性习题，设计方案比较多，其它答案按相应分数给分；
（2）设计为锥体容器的得0分。
（3）设计的容器容积比V₁小的得0分）