Question

对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生
器，工作原理如下：
（1）输入x₀∈D，则可输出x₁=f（x₀）（2）若x₀∉D，则结束，否则计算x₂=f（x₁）．
现定义 f(x)=

4x-2

x+1

．
①若输入x0=

49

65

，写出{x_n}；
②若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的x₀．

Answer 1

分析：①利用f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x_n}的只有三项；
②要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f(x)=

4x-2

x+1

=x，从而求出相应的初始数据x₀的值；

解答：解：①因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
x1=

4× 49 65 -2

49 65 +1

=

11

19

，x2=

4× 11 19 -2

11 19 +1

=

1

5

，x3=

4× 1 5 -2

1 5 +1

=-1∉D，
所以数列{x_n}只有三项x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
②因为f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，
即x₀=1或x₀=2时，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn•
故当x₀=1时，x_n=1；当x₀=2时，x_n=2（n∈N^*）．
故1，2为所求．

点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．