Question

【题目】如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．
（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；
（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE∥平面ABC．

∵VC平面VBC，DE⊥平面VBC，

∴DE⊥VC，

∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，

∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，

∵DE平面ABC，AC平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）解：∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，

∵D，F分别为VA，AB的中点，

∴DF∥VB，∴DE⊥DF，

∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小．

∵VC=2BC，∴VE=BC，VB= BC，∴BE= BC，

∴cos∠VBE= = ，

∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）证明DE∥AC，即可判断直线DE与平面ABC的位置关系；（2）BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，利用余弦定理，即可求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与平面之间的位置关系(直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点)．