Question

定义：若各项为正实数的数列{a_n}满足a_n+1=

an

(n∈N*)，则称数列{a_n}为“算术平方根递推数列”．已知数列{x_n}满足x_n＞0，n∈N^*，且x₁=

9

2

，点（x_n+1，x_n）在二次函数f（x）=2x²+2x的图象上．
（1）试判断数列{2x_n+1}（n∈N^*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
（2）记y_n=lg（2x_n+1）（n∈N^*），求证：数列{y_n}是等比数列，并求出通项公式y_n；
（3）从数列{y_n}中依据某种顺序自左至右取出其中的项y_n1，y_n2，y_n3，…，把这些项重新组成一个新数列{z_n}：z₁=y_n1，z₂=y_n2，z₃=y_n3，…．
（理科）若数列{z_n}是首项为z1=(

1

2

)m-1、公比为q=

1

2k

(m，k∈N*)的无穷等比数列，且数列{z_n}各项的和为

16

63

，求正整数k、m的值．
（文科） 若数列{z_n}是首项为z1=(

1

2

)m-1，公比为q=

1

2k

(m，k∈N*)的无穷等比数列，且数列{z_n}各项的和为

1

3

，求正整数k、m的值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,二次函数的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）数列{2x_n+1}（n∈N^*）是否为算术平方根递推数列，利用点（x_n+1，x_n）在二次函数f（x）=2x²+2x的图象上，可得x_n=2x_n+1²+2x_n+1，即可证明2x_n+1+1=

2xn+1

，从而数列{2x_n+1}（n∈N^*）是否为算术平方根递推数列；
（2）由y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，可得y_n+1=

1

2

y_n，即可证明∴数列{y_n}是首项为1，公比为

1

2

等比数列，从而求出通项公式y_n；
（3）理：由题意可得数列{z_n}的首项为

1

2m-1

，公比为

1

2k

，可得

16

2k

+

63

2m-1

=16，再分类讨论，可得正整数k、m的值；
文：由题意可得数列{z_n}的首项为

1

2m-1

，公比为

1

2k

，可得

1

2k

+

3

2m-1

=1，再分类讨论，可得正整数k、m的值．

解答： 解：（1）数列{2x_n+1}（n∈N^*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：
∵点（x_n+1，x_n）在二次函数f（x）=2x²+2x的图象上，
∴x_n=2x_n+1²+2x_n+1，
∴2x_n+1=（2x_n+1+1）²，
∵x_n＞0，n∈N^*，
∴2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴数列{2x_n+1}（n∈N^*）是否为算术平方根递推数列；
（2）∵y_n=lg（2x_n+1），2x_n+1+1=

2xn+1

，
∴y_n+1=

1

2

y_n，
∵y₁=lg（2x₁+1）=1，
∴数列{y_n}是首项为1，公比为

1

2

等比数列，
∴通项公式y_n=(

1

2

)n-1
（3）理：由题意可得数列{z_n}的首项为

1

2m-1

，公比为

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

16

63

，
∴

16

2k

+

63

2m-1

=16，
若m-1≥3，则

16

2k

+

63

2m-1

≤

16

2k

+

63

8

＜

16

2

+

63

8

＜16，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1时，

16

2k

+

63

2m-1

＞16，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=6；
（文）：由题意可得数列{z_n}的首项为

1

2m-1

，公比为

1

2k

，
∴

1 2m-1

1- 1 2k

=

1

3

，
∴

1

2k

+

3

2m-1

=1，
若m-1≥3，则

1

2k

+

3

2m-1

≤

1

2k

+

3

8

＜

1

2

+

3

8

＜1，矛盾，
∴m-1≤2，
∵m-1=0或1时，

1

2k

+

3

2m-1

＞1，
∴m-1=2，
∴m=3，
∴k=2．

点评：本题考查新定义，考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．