Question

5．方程$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}=λ（λ＜0）$的曲线即为y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是②③⑤．（请写出所有正确命题的序号）
①函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；
②函数y=f（x）在R上是单调递减函数；
③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；
④函数F（x）=9f（x）+7x至少存在一个零点；
⑤函数y=f（x）的值域是R．

Answer 1

分析 不妨取λ=-1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，即可得出结论．

解答 解：不妨取λ=-1，方程为$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}$=-1，图象如图所示．
对于①，不正确，②③⑤，正确
由F（x）=9f（x）+7x=0得f（x）=-$\frac{7}{9}$x．
因为双曲线的渐近线为y=±$\frac{7}{9}$x
所以函数y=f（x）与直线y=-$\frac{7}{9}$x无公共点，
因此F（x）=9f（x）+7x不存在零点，可得④不正确．
故答案为：②③⑤．

点评 本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于难题．