【题目】已知函数.
(1)求证:方程有实根;
(2)在
上是单调递减函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,关于
的不等式
的解集为空集,求所有满足条件的实数
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)要证的实根,设
,也就是证明方程
有非负实数根,而
,故可设
的两根为
,利用根据与系数的关系,即可求解;
(2)由题设值对任意的时,
恒成立,对
分类讨论,对任意的
,集合函数的单调性即可求出实数
的取值范围;
(3)由题意知,当时,
恒成立,记
,对
分类:若
,则
,从而求出满足条件的实数
的值.
详解:(1)要证x4-2ax2-1=0有实根,也就是证明方程t2-2at-1=0有非负实数根.
而Δ=4a2+4>0,故可设t2-2at-1=0的两根为t1、t2.
t1t2=-1<0,∴t1、t2一正一负.
∵方程t2-2at-1=0有正根,
∴方程f(x)=1有实根.
(2)由题设知对任意的x∈[0,1],
h′(x)=f ′(x)-1=4x3-4ax-1≤0恒成立,x=0时显然成立;
对任意的0<x≤1,a≥x2-,∴a≥(x2-
)max,
而g(x)=x2-在(0,1]上单调递增,∴a≥g(1)=
,∴a的取值范围为[
,+∞).
(3)由题设知,当x∈[0,1]时,|4x3-4ax|≤1恒成立.记F(x)=4x3-4ax,
方法1:若a≤0,则F(1)=4-4a≥4,不满足条件;
故a>0,而
①当<1即0<a<3时,F(x)在[0,
]上递减,在[
,1]上递增,
于是,解得a=
.
②当≥1,即a≥3时,F(x)在[0,1]上递减,于是|F(x)|max=-F(1)=4a-4≥8,
与题意矛盾.
综上所述a=.
方法2:(分离参数法)因为|4x3-4ax|≤1,所以-1≤4x3-4ax≤1,x=0时显然成立;
对任意的
由(2)知且
时取等号),
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【题目】[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中,有这样一个执行框,其中的函数关系式为
,程序框图中的
为函数
的定义域.
(1)若输入,请写出输出的所有
的值;
(2)若输出的所有都相等,试求输入的初始值
.
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【题目】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足关系式
,其中
,
为常数.已知销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为5元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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【题目】一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中M,N分别是AF,BC的中点).
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A﹣CDEF的体积.
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【题目】某校600名文科学生参加了4月25日的三调考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况,利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析,将学生编号为000,001,002,…599
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
(1)若从第6行第7列的数开始右读,请你一次写出最先抽出的5个人的编号(上面是摘自随机数表的第4行到第7行);
(2)抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表:
外语 | ||||
优 | 良 | 及格 | ||
数学 | 优 | 8 | m | 9 |
良 | 9 | n | 11 | |
及格 | 8 | 9 | 11 |
若数学成绩优秀率为35%,求m,n的值;
(3)在外语成绩为良的学生中,已知m≥12,n≥10,求数学成绩优比良的人数少的概率.
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【题目】已知函数f (x)=a lnx++x (a≠0).
(1)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(2)讨论函数f (x)的单调性.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣ |+|x+
|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
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