Question

6．已知圆C的方程为x²+y²-6x-8y+24=0，从动点P向圆C引切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|=|PO|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化为（x-3）²+（y-4）²=1，圆心C（3，4），半径r=1．设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$及其|PM|=|PO|，可得动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）|PM|²=x²+y²=x²+（3-$\frac{3}{4}$x）²=$\frac{25}{16}$（x-$\frac{36}{25}$）²+$\frac{144}{25}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化为（x-3）²+（y-4）²=1，
圆心C（3，4），半径r=1．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CM⊥PM，
∴|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-1}$．
∵|PM|=|PO|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-1}$．
化为3x+4y-12=0．
（Ⅱ）|PM|²=x²+y²=x²+（3-$\frac{3}{4}$x）²=$\frac{25}{16}$（x-$\frac{36}{25}$）²+$\frac{144}{25}$，
当x=$\frac{36}{25}$＜2时，|PM|²取得最小值$\frac{144}{25}$，即|PT|取得最小值$\frac{12}{5}$．
x=$\frac{36}{25}$，y=$\frac{48}{25}$时，∴P（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

点评 本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．