Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N^*），求a₁a₂a₃…a₂₀₁₁a₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=-3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=2，
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
且a₁•a₂•a₃•a₄=2•（-3）•（-$\frac{1}{2}$）•$\frac{1}{3}$=1，
∵2012=503•4，
∴a₁a₂a₃…a₂₀₁₁a₂₀₁₂=（a₁•a₂•a₃•a₄）⁵⁰³=1．

点评 本题考查数列的通项下，注意解题方法的积累，属于中档题．