Question

【题目】如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.

(1)求证：AM∥平面BEC；

(2)求点D到平面BEC的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可.

证明：取EC的中点为N，连接MN，BN.

在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM.

又因为BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM∥平面BEC.

(2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE平面BDE，所以BC⊥BE.

故S△BCE＝BE·BC＝××＝.

S△BCD＝BD·BC＝××＝1.

又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h，

则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝.