Question

【题目】设定义域为R的函数 （a，b为实数）．
（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；
（2）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

即 =0，

∴a=1，

∴ ，

∵f（1）=﹣f（﹣1），

∴ ，

∴b=2

（2）解：f（x）= = =﹣ + ，

∵2x＞0，

∴2x+1＞1，0＜ ＜1，

从而﹣ ＜f（x）＜ ；

而c2﹣3c+3=（c﹣ ）2+ ≥ 对任何实数c成立，

∴对任何实数x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立

【解析】（1）利用函数是奇函数，得到f（0）=0，从而建立方程可解a，b．（2）利用函数的奇偶性和指数函数的单调性，求出f（x）的最大值，和函数y=c2﹣3c+3最小值之间的关系，进行证明即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．