【题目】已知函数f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)设f(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证:f(x1)+f(x2)>﹣5.
【答案】
(1)解:∵f′(x)=x﹣a+ = ,
∴k=f′(1)=4﹣2a,
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直,
∴k=﹣ ,
∴4﹣2a=﹣ ,
解得a=
(2)解:由题意,x1,x2为f′(x)=0的两根,
∴ ,
∴2<a<3,
又∵x1+x2=a,x1x2=3﹣a,
∴f(x1)+f(x2)= (x12+x22)﹣a(x1+x2)+(3﹣a)lnx1x2,
=f(x)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),
设h(a)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),a∈(2,3),
则h′(a)=﹣a﹣ln(3﹣a),
∴h″(a)=﹣1+ = >0,
故h′(a)在(2,3)递增,又h′(2)=﹣2<0,
当a→3时,h′(a)→+∞,
∴a0∈(2,3),
当a∈(2,a0)时,h(a)递减,当a∈(a0,3)时,h(a)递增,
∴h(a)min=h(a0)=﹣ a02+a0﹣3+(3﹣a0)ln(3﹣a0)>﹣ a02+a0﹣3+(3﹣a0)(﹣a0)= a02﹣2a0﹣3= (a0﹣2)2﹣5>﹣5.
∴a∈(2,3),h(a)>﹣5,
综上,f(x1)+f(x2)>﹣5
【解析】(1)根据导数的几何意义即可求出a的值,(2)根据x1 , x2为f′(x)=0的两根,求出a的范围,再根据韦达定理得到f(x1)+f(x2)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),构造函数h(a)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),a∈(2,3),求出函数的最小值大于5即可.
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【题目】设抛物线C1:y2=8x的准线与x轴交于点F1 , 焦点为F2 . 以F1 , F2为焦点,离心率为 的椭圆记为C2 . (Ⅰ)求椭圆C2的方程;
(Ⅱ)设N(0,﹣2),过点P(1,2)作直线l,交椭圆C2于异于N的A、B两点.
(ⅰ)若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2 , 证明:k1+k2为定值.
(ⅱ)以B为圆心,以BF2为半径作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B与⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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【题目】如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD与平面BCD所成的角为30°,且AB=BC=2;
(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;
(2)设M为BD的中点,求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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【题目】已知函数f(x)=x+ex﹣a , g(x)=ln(x+2)﹣4ea﹣x , 其中e为自然对数的底数,若存在实数x0 , 使f(x0)﹣g(x0)=3成立,则实数a的值为( )
A.﹣ln2﹣1
B.﹣1+ln2
C.﹣ln2
D.ln2
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【题目】已知函数 的导函数为f'(x).
(Ⅰ)判断f(x)的单调性;
(Ⅱ)若关于x的方程f'(x)=m有两个实数根x1 , x2(x1<x2),求证: .
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【题目】函数f(x)的定义域是(0, ),f′(x)是它的导函数,且f(x)+tanxf′(x)>0在定义域内恒成立,则( )
A.f( )> f( )
B. sin1?f(1)>f( )
C.f( )> f( )
D. f( )> f( )
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【题目】已知实数a,b,c满足a,b,c∈R+ .
(Ⅰ)若ab=1,证明:( + )2≥4;
(Ⅱ)若a+b+c=3,且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,求x的取值范围.
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