Question

文（12分）已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求PD与AB所成角的大小；（3）求二面角A—PB—C的大小.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）作PO⊥平面ABCD于O，则PO⊥AD，又∵PB⊥AD，
∴AD⊥平面POB，连OB交AD于E，则PE⊥AD，BE⊥AD，
得∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，
在边长为2正△PAD中，易得AE=，∴为所求；
（2）易证Rt△PAE≌Rt△BAE（直角边、斜边）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD与AB所成角即为PD与DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD与AB所成角大小为.
（3）取PB中点G及PC中点F，则GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF为所求平面角.由（2）所证知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.
解法2：建立如图坐标系,则,先证明及,从而知B,
G，A，C.然后由，如与所成的角即为所求平面角.∵，∴平面角.
注：（2）题中可由得.