Question

20．已知函数f（x）=x²+2ax+alnx，a≤0．
（1）若当a=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞$\frac{1}{2}$（2e+1）a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，判断函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，分离参数a，从而求出a的范围．

解答 解：（1）由题意得x∈（0，+∞），
当a=-2时，$f（x）={x^2}-4x-2lnx，f'（x）=\frac{{2{x^2}-4x-2}}{x}=\frac{{2（{x-1-\sqrt{2}}）（{x-1+\sqrt{2}}）}}{x}$，…（2分）
∴当$x∈（{0，1+\sqrt{2}}）$时，f'（x）＜0，当$x∈（{1+\sqrt{2}，+∞}）$时，f'（x）＞0，…（4分）
∴f（x）的单调减区间是$（{0，1+\sqrt{2}}）$，单调增区间是$（{1+\sqrt{2}，+∞}）$…（5分）
（2）①当a=0时，f（x）=x²＞0，显然符合题意；
②当a＜0时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+2ax+a}}{x}$，…（6分）
对于2x²+2ax+a=0，△=4a²-8a＞0，
∴该方程有两个不同实根，且一正一负，
即存在x₀∈（0，+∞），使得$2x_0^2+2a{x_0}+a=0$，即f'（x₀）=0，…（7分）
∴当0＜x＜x₀时，f'（x）＜0，当x＞x₀时，f'（x）＞0，…（8分）
∴$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=x_0^2+2a{x_0}+aln{x_0}=x_0^2+a{x_0}+\frac{a}{2}+（{a{x_0}-\frac{a}{2}+aln{x_0}}）=a{x_0}-\frac{a}{2}+aln{x_0}$，
∵$f（x）＞\frac{1}{2}（{2e+1}）a$，∴2x₀-1+2lnx＜2e+1，即x₀+lnx₀＜e+1，
由于g（x）=x+lnx在（0，+∞）上是增函数，
∴0＜x₀＜e…（9分）
由$2x_0^2+2a{x_0}+a=0$得$a=-\frac{2x_0^2}{{2{x_0}+1}}$，
设$h（x）=-\frac{{2{x^2}}}{2x+1}$，则$h'（x）=-\frac{{4{x^2}+4x}}{{{{（{2x+1}）}^2}}}＜0$，
∴函数$h（x）=-\frac{{2{x^2}}}{2x+1}$在（0，e）上单调递减，…（10分）
∴$-\frac{2x_0^2}{{2{x_0}+1}}∈（{-\frac{{2{e^2}}}{2e+1}，0}）$…（11分）
综上所述，实数a的取值范围$（{-\frac{{2{e^2}}}{2e+1}，0}]$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．