Question

已知点A（-3，0），B（3，0），动点P到A的距离与到B的距离之比为2．
（1）求P点的轨迹E的方程；
（2）当m为何值时，直线l：mx+（2m-1）y-5m+1=0被曲线E截得的弦最短．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y），由题意可知：|PA|=2|PB|，由两点间的距离公式化简可得轨迹E的方程．
（2）要使得直线l被曲线E截得的弦最短，需 d=

|5m-5m+1|

m2+(2m-1)2

=

1

5m2-4m+1

达到最大，由二次函数的性质可得当m=

2

5

时，d取得最大值．

解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可知：|PA|=2|PB|，则

(x+3)2+y2

=2

(x-3)2+y2

，
故P点的轨迹E的方程为：（x-5）²+y²=16．
（2）要使得直线l被曲线E截得的弦最短，必须圆心O₁（5，0）到直线l的距离最大，
此时d=

|5m-5m+1|

m2+(2m-1)2

=

1

5m2-4m+1

达到最大，
令f（m）=5m²-4m+1，则f（m）在m=

2

5

时，取得最小值

1

5

，d取得最大值．
故当m=

2

5

时，直线l被曲线E截得的弦最短，此时弦长为2

11

．

点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求得d的最大值是解题的关键．