Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面ACE的一个法向量．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD中，底面积ABCD为矩形，
PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），
D（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3）．
∴平面ACE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查平面的一个法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的合理建立．