Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$，弦AB的中点是M（3，1）．
（1）求过点M且垂直于长轴的弦长；
（2）求弦AB所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）在椭圆方程中，取x=3求出对应点的纵坐标，则答案可求；
（2）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，作差后整理，即可求得以M为中点的直线的斜率，代入点斜式方程得答案．

解答 解：（1）在椭圆方程$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$中，取x=3，得$\frac{{y}^{2}}{9}=1-\frac{9}{36}=\frac{3}{4}$，解得y=$±\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴过点M且垂直于长轴的弦长为$2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$，
两式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵M（3，1）是弦AB的中点，
∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9×6}{36×2}=-\frac{3}{4}$，
∴弦AB所在直线的方程为y-1=$-\frac{3}{4}（x-3）$，
化为一般方程为：3x+4y-13=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查了“点差法”的应用，涉及中点弦问题，利用“点差法”使问题变得简洁，是中档题．