Question

已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．先把y=f（x）的图象上所有点向左平移

π

4

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=

3

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)，求f（2α）的值；
（3）设g₁（x），g₂（x）是定义域为R的两个函数，满足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g₁（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以证明．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的图形变换，写出f（x）的解析式；
（2）根据α的取值范围求出sin2α，cos2α的值，再求f（2α）；
（3）构造g₁（x）=cosx+sinx，θ=

π

2

，直接代入验证即可．

解答：解：（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因为α-

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，cos(α-

π

4

)=

3

5

＞0，所以α-

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)，
所以sin(α-

π

4

)=

4

5

，…（4分）cos(2α-

π

2

)=2cos2(α-

π

4

)-1=-

7

25

，则sin2α=-

7

25

，…（5分）sin(2α-

π

2

)=2sin(α-

π

4

)cos(α-

π

4

)=

24

25

，则cos2α=-

24

25

，…（6分）
所以f(2α)=cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=-

31

50

2

．…（7分）
（3）令g₁（x）=cosx+sinx，θ=

π

2

，…（9分）
则g₁（x）•g₂（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x…（10分）
（注：令g1(x)=

2

cos(x-

π

4

)，θ=

π

2

；g1(x)=1+

2

sinx，θ=π等相应给分．）（只构造不证明本小问不得分．）

点评：本题考查了三角函数的图象变换，二倍角公式，以及构造三角函数，综合性比较强，属于中档题型．