Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）对一切， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，试讨论在内的极值点的个数.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)实数的取值范围为；

(3)当， 在内的极值点的个数为1；当时, 在

内的极值点的个数为0.

【解析】试题分析：(1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率，最后把直线方程化成一般式；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；(3)对于恒成立的问题常采用分离参数的方法，常用到两个结论：（1），（2）；（4）单调函数最多只有一个零点.

试题解析：解：(1) 由题意知,所以

又，

所以曲线在点的切线方程为5分

(2)由题意: ,即

设,则

当时,；当时,

所以当时， 取得最大值

故实数的取值范围为. 10分

(3) ，，

①当时, ∵∴存在使得

因为开口向上，所以在内,在内即在内是增函数, 在内是减函数

故时， 在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 12分

②当时,因

又因为开口向上

所以在内则在内为减函数，故没有极值点 14分

综上可知：当， 在内的极值点的个数为1；当时, 在

内的极值点的个数为0. 15分