Question

11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．外接球半径为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2$\sqrt{3}$，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．

解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，
三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2$\sqrt{3}$，底边上的高为1，
∴几何体的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）
∵（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²，①
x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，②
（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²+z²=x²+y²+z²，③
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，z=1，
∴球心的坐标是（1，$\sqrt{3}$，1），
∴球的半径是$\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{5}$．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．