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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π,在同一周期内,当x=
π
6
时,f(x)取得最大值2;当x=
3
时,f(x)取得最小值-2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若x∈[0,
π
2
]时,求函数f(x)的单调增区间和最值.
考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象
专题:三角函数的图像与性质
分析:(Ⅰ)由题意可求得A的值,
1
2
T=
3
-
π
6
,可得T的值,ω的值,又由题意2sin(2×
π
6
+φ)=2,可解得φ的值,即可求得解析式.
(Ⅱ)由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可解得f(x)的单调增区间,若x∈[0,
π
2
]时,则可得函数f(x)的单调增区间,根据正弦函数的性质即可求得最值.
解答: 解:(Ⅰ)∵由题意可得:A=2,
1
2
T=
3
-
π
6
,可得T=π,ω=
T
=
π
=2,
∵由题意可得:2sin(2×
π
6
+φ)=2
∴由五点作图法可得:φ=
π
6

∴f(x)=2sin(2x+
π
6

(Ⅱ)∵2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可解得f(x)的单调增区间是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
]k∈Z,
∵若x∈[0,
π
2
]时,函数f(x)的单调增区间是[0,
π
6
].
∵x∈[0,
π
2
]
∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
]
∴当x=
π
6
时,f(x)max=2,当x=
π
2
时,f(x)min=-1.
点评:本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性质,属于基础题.
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π
4
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4
3
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π
3
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π
3
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π
6
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π
6

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π
2
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b
a
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3
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