Question

【题目】已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．

由题设知·＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离d为，

所以|PM|＝2＝，

所以△POM的面积为S△POM＝|PM|d＝.