Question

4．如图所示，半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，建立这个梯形的周长y与腰长x的解析式，并求出它的定义域函数解析式，并求出它的定义域．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，根据垂径定理，可得辅助线OE⊥AD，根据三角函数的性质，即可求得AF的值，即可求得CD的值，问题得解．

解答 解：过点O作OE⊥AD于E，过点D作DF⊥AB于F，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$x，
∴cosA=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{x}{2R}$，
∵cosA=$\frac{AF}{AD}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{x}{2R}$，
∵AD=x，
∴AF=$\frac{{x}^{2}}{2R}$，
∴CD=2OF=2（OA-AF）=2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$，
∴周长y=2R+2x+CD=4R+2x-$\frac{{x}^{2}}{R}$．定义域（0＜x＜$\sqrt{2}$R）．

点评 本题以半圆为载体，考查函数模型的构建，关键是腰长表示上底长，比较基础．