Question

已知实系数一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x₁、x₂，并且0＜x₁＜2，x₂＞2，则

b

a-1

的取值范围是（　　）

• A．（-1，-

  1

  3

  ）
• B．（-3，-1）
• C．（-3，-

  1

  2

  ）
• D．（-3，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜2＜x₂，结合对应二次函数性质得到 然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析

b

a-1

的几何意义，然后数形结合即可得到结论．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜2＜x₂，
则

f(0)＞0 f(2)＜0

即

1+a+b＞0 3a+b+7＜0

，其对应的平面区域如下图阴影示：
则

b

a-1

表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率
由题意可得A（-3，2）
由图可知

b

a-1

∈（-3，-

1

2

）
故选C

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜2＜x₂，结合二次函数性质得到 解答本题的关键．