Question

设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，那么两个角α和β的三角函数间的关系是（　　）

A．2cos2α+3cosβ=1	B．2cosα+3cos2β=1
C．3cos2α+2cosβ=1	D．3cosα+2cos2β=1

Answer 1

设正三棱锥S-ABC，侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，作SD⊥BC，连接AD，作SH⊥AD，则SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，连接CE，则CE⊥SA，∠BEC是二侧面成角的平面角，
设AB=BC=AC=1个单位，
AD=

3

2

，HD=

3

2 3

=

3

6

，AH=

3

3

，

SD

HD

=cosα，SD=

3

6cosα

，SH=

3? tanα

6

，
SA=

SH2+AH2

=

tan2α 12 + 1 3

=

3tan2α+12

6

，
又BE×SA×

1

2

=SD×AB×

1

2

=S_△SAB，
∴BE=

SD×AB

SA

=

3 6cosα

3tan2α+12 6

=

1

1+3cos2α

在三角形EBC中根据余弦定理，
BC²=BE²+EC²-2×BE×EC×cosβ，
1=

1

1+3cos2α

+

1

1+3cos2α

-2×

1

1+3cos2α

×cosβ，
经整理得：3cos²α+2cosβ=1，
故选C