已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
分析:(1)对抽象函数所满足的关系式,进行赋值,分别令x=y=0,x=y=-1,x=1,y=-1即可求f(1);
(2)对抽象函数所满足的关系式,令x=n,y=1,代入化简即可证明;
(3)对抽象函数所满足的关系式,令y=-x,讨论x为整数的情况,转化为二次函数与方程问题解决即可.
解答:解:(1)x=y=0得f(0)=-1
x=y=-1得f(-2)=2f(-1)+2
而f(-2)=-2,∴f(-1)=-2
x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)
∴f(1)=1.
(2)x=n,y=1得f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2
∴f(n+1)-f(n)=n+2,
∴当n∈N
+时,f(n)=f(1)+[3+4++(n+1)]=
(n2+3n-2)则f(n)-n=
(n2+n-2)而当n∈N
+,且n>1时,n
2+n-2>0,
∴f(n)>n,则对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.
(3)∵y=-x时f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x
2∴f(x)=x
2-2-f(-x)
∵当x∈N
+时由(2)知
f(x)=(x2+3x-2)当x=0时,f(0)=-1=
[02+3×0-2]当x为负整数时,-x∈N
+,则
f(-x)=(x2-3x-2),
∴
f(x)=x2-2-(x2-3x-2)=(x2+3x-2)故对一切x∈Z时,有
f(x)=(x2+3x-2)∴当t∈Z时,由f(t)=t得t
2+t-2=0,即t=1或t=-2
∴满足f(t)=t的整数t有两个.
点评:本题考查抽象函数的求值、计算与证明问题,抽象函数是相对于函数有具体解析式而言的,赋值法是解决抽象函数的一把“利剑”,本题属于中档题.