【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,且
,
,
是边
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若是线段
上的动点(不含端点):问当
为何值时,二面角
余弦值为
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由平面
得
,再根据
,可推出
平面
,再由
及
是边
的中点,可推出
,从而可证
平面
;(2)在底面内过点
作直线
,
,以
,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,由(1) 可得
是平面
的一个法向量,再求出平面
的一个法向量,再根据二面角
余弦值为
,即可求得
.
试题解析:(1)证明:∵平面
∴,
∵,
,
∴平面
∴,
在等腰直角中,∵
是边
的中点
∴,
∵
∴平面
.
(2)解:在底面内过点作直线
,
,∵
平面
,
以,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,
∴,
,
,
,
,
∴,
∴,
∵平面
∴是平面
的一个法向量,
∵是线段
上的动点,设
(
),
∴,∴
,∴
,
设是平面
的一个法向量,
∴∴
取,
,∴
设二面角大小为
,
∴
∴,此时二面角
是钝二面角,符合题意,此时
.
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
,若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】在三棱锥中,因为
,
,
,所以
,则该几何体的外接球即为以
为棱长的长方体的外接球,则
,其体积为
;故选D.
点睛:在处理几何体的外接球问题,往往将所给几何体与正方体或长方体进行联系,常用补体法补成正方体或长方体进行处理,本题中由数量关系可证得
从而几何体的外接球即为以
为棱长的长方体的外接球,也是处理本题的技巧所在.
【题型】单选题
【结束】
21
【题目】已知函数,则
的大致图象为( )
A. B.
C. D.
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【题目】一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下表:
分数 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | |
人数 | 甲组 | 2 | 5 | 10 | 13 | 14 | 6 |
乙组 | 4 | 4 | 16 | 2 | 12 | 12 |
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.
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【题目】2005年12月15日,中央密苏里州立大学的教授 Curtis Cooper Steven Boone发现了第43个麦森质数.这个质数是______位数;它的末两位数是______.
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【题目】运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,每人至多报两个项目.15人参加游泳,8人参加田径,14人参加球类.同时参加游泳和田径的有3人,同时参加游泳和球类的有3人,则只参加一个项目的有______人.
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【题目】如图,已知椭圆经过不同的三点
在第三象限),线段
的中点在直线
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点
的坐标;
(Ⅱ)设点是椭圆
上的动点(异于点
且直线
分别交直线
于
两点,问
是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】某电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:
满意 | 一般 | 不满意 | |
A部门 | 50% | 25% | 25% |
B部门 | 80% | 0 | 20% |
C部门 | 50% | 50% | 0 |
D部门 | 40% | 20% | 40% |
(1)若市民甲选择的是A部门,求甲的调查问卷被选中的概率;
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈,求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率.
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