Question

下表给出一个“等差数阵”：

4	7	(　)	(　)	(　)	……	a1j	……
4	12	(　)	(　)	(　)	……	a2j	……
(　)	(　)	(　)	(　)	(　)	……	a3j	……
(　)	(　)	(　)	(　)	(　)	……	a4j	……
……	……	……	……	……	……	……	……
ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	……	aij	……
……	……	……	……	……	……	……	……

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．

（1）写出a₄₅的值；

（2）写出a_ij的计算公式；

（3）写出2008这个数在等差数阵中所在的一个位置；

（4）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）a45=49 （2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3(j-1) 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5(j-1)，…… 第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列，因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j （3）要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i、j，使得 2ij+i+j=2008所以i=当i=1时．得j=669 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列． （4）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i(2j+1)+j 从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1) 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，从而N=k(2l+1)+l=akl 可见N在该等差数阵中，综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．