分析 (1)根据数列的递推公式即可求出数列{an}为等比数列,根据对数的运算性质可得bn=2n+1,
(2)根据裂项求和求出数列{cn}的前n项和为Tn,再利用放缩法即可证明.
解答 解:(1)在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中,令n=1得a1=8.
因为对任意正整数n,都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2①$成立,n≥2时,${a_{n-1}}=\frac{3}{4}{S_{n-1}}+2②$,
②-①得,${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{3}{4}{a_{n-1}}$,所以an+1=4an.
又a1≠0,所以数列{an}是以a1=8为首项,4为公比的等比数列,即${a_n}=8•{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$,
所以${b_n}={log_2}{2^{2n+1}}=2n+1$.
(2)由题意及(1)知${c_n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,
所以${T_n}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})]=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})=\frac{n}{3(2n+3)}$.
由于Tn为单调增函数,则$\frac{1}{15}={T_1}≤{T_n}<\frac{1}{6}$,
故$\frac{1}{15}≤{T_n}<\frac{1}{6}$.
点评 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项求和以及放缩法证明不等式,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ![]() | B. | ![]() | C. | ![]() | D. | ![]() |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要 | B. | 必要不充分 | ||
C. | 充要 | D. | 既不充分也不必要 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a<-2 | B. | a≤-2 | C. | a<-1 | D. | a≤-1 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com