Question

18．已知等比数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$，S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求a_n和S_n
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列b_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出a_n和S_n．
（2）利用等比数列的通项公式和对数的运算法则，结合等比数列、等差数列的性质能求出数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$，S_n为{a_n}的前n项和．
∴${a}_{1}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴a_n=${a}_{1}{q}^{n-1}$=${（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=$lo{g}_{3}[1×（\frac{1}{3}）×（\frac{1}{3}）^{2}×…×（\frac{1}{3}）^{n-1}]$
=$lo{g}_{3}[（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n-1}]$
=$lo{g}_{3}{3}^{-\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}}$
=$-\frac{n（n-1）}{2}$．
∴b_n=-$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质、对数函数的运算法则的合理运用．