Question

已知函数f（x）的图象可由函数的图象向右平移两个单位而得到．
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）的图象关于直线y=x对称；
（3）问：是否存在集合M，当x∈M时，函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为；若存在，试求出一个集合M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵函数f（x）的图象可由函数的图象向右平移两个单位而得到，
∴f（x）=；
（2）证明：令y=，则y-2=
∴
∴
∴
∴函数f（x）的图象关于直线y=x对称；
（3）解：f（x）==2+
∵函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为
∴y=的最大值为m²，最小值为
∴
∴x≤或或x＞2，
∴存在集合M={x|x≤或或x＞2}，当x∈M时，函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为．
分析：（1）利用左加右减的平移规律，可得结论；
（2）证明函数f（x）的反函数是本身，即可得到结论；
（3）函数f（x）的最大值为2+m²，最小值为，转化为y=的最大值为m²，最小值为，从而可得不等式，解不等式，即可得到结论．
点评：本题考查函数图象的平移，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．