Question

【题目】如图，已知长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵长方形ABCD中， ， ，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM，

∵AD平面ADM，∴AD⊥BM

（2）证明：以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，

建立如图所示的直角坐标系

设 ，则平面AMD的一个法向量 ，

=（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， ，

设平面AME的一个法向量 ，

则 ，∴

取y=1，得x=0，y=1， ，∴ ，

∵ = ．∴得 或λ=﹣1，经检验得 满足题意．

∴E为BD的三等分点．

【解析】（1）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．（2）以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E为BD的三等分点．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．