Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．

（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，

则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．

∴ ， ， ，

∴ ， ，

∴DE⊥CA，DE⊥CP，

又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，

∴平面PDE⊥平面PAC．

（2）解： ，

设 是平面PDE的一个法向量，则 ，

∴ ，

令x=2，则y=1，z=2，即 ，

∴ =4，| |=3，| |=2，

∴cos＜ ＞= = ．

∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为 ．

【解析】（1）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量 ， ， 的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（2）求出平面PDE的法向量 ，计算 与 的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．