Question

甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为

1

4

，乙每次投中的概率为

1

3

求：
（I）乙投篮次数不超过1次的概率．
（Ⅱ）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B，由题设条件，“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，利用互斥事件的概率公式即可求解；
（II）由题意知甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，分别求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答：解：（I）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B．
“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，
所求的概率是P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•A)
=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•A)=P(A)+P(

.

A

)•P(B)+P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(A)

= 1 4 + 3 4 × 1 3 + 3 4 × 2 3 × 1 4 = 5 8 .

乙投篮次数不超过1次的概率为

5

8

…（7分）
（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，
甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 8	3 8

…（11分）
甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

3

8

=

21

8

…（13分）

点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．