Question

（本小题满分13分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．
(1)求动点D的轨迹C的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|＝3时，求直线l的方程；
②设点E(m,0)是x轴上一点，求当·恒为定值时E点的坐标及定值．

Answer 1

解：　(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),
∵ D是AB的中点， ∴x＝，y＝，
∵ |AB|＝2，∴(a－b)²＋(a＋b)²＝12，
∴(2y)²＋(2x)²＝12，∴点D的轨迹C的方程为x²＋y²＝3.
(2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，
此时|PQ|＝2，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，
由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，
由消去y得(k²＋1)x²－2k²x＋k²－3＝0，
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)则由韦达定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
则＝(m－x₁，－y₁)，＝(m－x₂，－y₂)，
∴·＝(m－x₁)(m－x₂)＋y₁y₂＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋y₁y₂
＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋k²(x₁－1)(x₂－1)
＝m²－＋＋k² (－＋1)＝
要使上式为定值须＝1，解得m＝1，
∴·为定值－2，
当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，－)，
由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)，
∴·＝－2，           
综上所述当E(1，0)时，·为定值－2.

略