Question

在R上可导的函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  )
• D、(

  1

  4

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由题意知f′（x）=x²+ax+2b，结合题设条件由此可以导出

b-2

a-1

的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b，
设x²+ax+2b=（x-x₁）（x-x₂），（x₁＜x₂）
则x₁+x₂=-a，x₁x₂=2b，
因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值
∴0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴

1

4

＜

b-2

a-1

＜1，
故选A．

点评：本题考查导数和导数的应用，解题时要注意等价命题的合理转换．