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【题目】已知函数.

1)当时,求曲线在点处的切线方程;

2)若在定义域内为单调函数,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2).

【解析】

1)对函数求导,解得函数在点处切线的斜率,根据点斜式即可求得切线方程;

2)构造函数,利用导数求解其值域,再根据之间的关系,求解恒成立问题即可得参数的范围.

1)当时,,故

故可得

故切线方程为:,整理得.

故曲线在点处的切线方程为.

2)因为,故可得.

在定义域内为单调函数,则恒成立,或恒成立.

构造函数,故可得

,解得

在区间上单调递增,在区间上单调递减.

,且当趋近于0时,趋近于.

.

若要保证在定义域内恒成立,即恒成立,

在定义域内恒成立,则只需

若要保证在定义域内恒成立,则恒成立,

在定义域内恒成立,但没有最小值,故舍去.

综上所述,要保证在定义域内为单调函数,

.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数,其中.

1)当时,求曲线在点处的切线方程;

2)当时,求函数的极值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班40名学生进行了问卷调查,得到了如下的列联表:

男生

女生

总计

喜爱打篮球

19

15

34

不喜爱打篮球

1

5

6

总计

20

20

40

1)在女生不喜爱打篮球的5个个体中,随机抽取2人,求女生甲被选中的概率;

2)判断能否在犯错误的概率不超过的条件下认为喜爱篮球与性别有关?

附:,其中

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

<>0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【题目】在平面直角坐标系中,过点的动圆恒与轴相切,为该圆的直径,设点的轨迹为曲线.

1)求曲线的方程;

2)过点的任意直线与曲线交于点的中点,过点轴的平行线交曲线于点关于点的对称点为,除以外,直线是否有其它公共点?说明理由.

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【题目】天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知心宿二的星等是1.00.“天津四的星等是1.25.“心宿二的亮度是天津四倍,则与最接近的是(较小时, )

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

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【题目】设动圆经过点,且与圆为圆心)相内切.

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程

(Ⅱ)设经过的直线与轨迹交于两点,且满足的点也在轨迹上,求四边形的面积.

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【题目】在直角坐标系中,圆的参数方程为为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆和圆的极坐标方程;

(2)过点的直线与圆异于点的交点分别为点,与圆异于点的交点分别为点,且,求四边形面积的最大值.

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【题目】已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形是第一象限内的点)的面积为,且过椭圆的右焦点的倾斜角为的直线过点

1)求椭圆的标准方程

2)若射线与椭圆的交点分别为.当它们的斜率之积为时,试问的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数,函数.

1)讨论的单调性;

2)证明:当时,.

3)证明:当时,.

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