【题目】已知函数().
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在定义域内为单调函数,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)对函数求导,解得函数在点处切线的斜率,根据点斜式即可求得切线方程;
(2)构造函数,利用导数求解其值域,再根据与之间的关系,求解恒成立问题即可得参数的范围.
(1)当时,,故;
故可得,
故切线方程为:,整理得.
故曲线在点处的切线方程为.
(2)因为,故可得.
若在定义域内为单调函数,则恒成立,或恒成立.
构造函数,故可得,
令,解得,
故在区间上单调递增,在区间上单调递减.
故,且当趋近于0时,趋近于.
故.
若要保证在定义域内恒成立,即恒成立,
即在定义域内恒成立,则只需;
若要保证在定义域内恒成立,则恒成立,
则在定义域内恒成立,但没有最小值,故舍去.
综上所述,要保证在定义域内为单调函数,
则.
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班40名学生进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
男生 | 女生 | 总计 | |
喜爱打篮球 | 19 | 15 | 34 |
不喜爱打篮球 | 1 | 5 | 6 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
(1)在女生不喜爱打篮球的5个个体中,随机抽取2人,求女生甲被选中的概率;
(2)判断能否在犯错误的概率不超过的条件下认为喜爱篮球与性别有关?
附:,其中.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | <>0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,过点的动圆恒与轴相切,为该圆的直径,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的任意直线与曲线交于点,为的中点,过点作轴的平行线交曲线于点,关于点的对称点为,除以外,直线与是否有其它公共点?说明理由.
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【题目】天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,则与最接近的是(当较小时, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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【题目】设动圆经过点,且与圆为圆心)相内切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)设经过的直线与轨迹交于、两点,且满足的点也在轨迹上,求四边形的面积.
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【题目】在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆的极坐标方程;
(2)过点的直线,与圆异于点的交点分别为点,,与圆异于点的交点分别为点,,且,求四边形面积的最大值.
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【题目】已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形(是第一象限内的点)的面积为,且过椭圆的右焦点的倾斜角为的直线过点.
(1)求椭圆的标准方程
(2)若射线与椭圆的交点分别为.当它们的斜率之积为时,试问的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.
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