Question

【题目】函数y=f（x）图象上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）处的切线的斜率分别是kA ， kB ， 规定φ（A，B）= 叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： 1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞ ；
2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
4）设曲线y=ex上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；
以上正确命题的序号为（写出所有正确的）

Answer 1

【答案】（2）（3）
【解析】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 则 ， ，
y1=1，y2=5，则 ，
φ（A，B）= ，（1）错误；
对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；
对于（3），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），y′=2x，
则kA﹣kB=2x1﹣2x2 ， =
= ．
∴φ（A，B）= = ，（3）正确；
对于（4），由y=ex ， 得y′=ex ， φ（A，B）= = ．
tφ（A，B）＜1恒成立，即 恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．
故答案为：（2）（3）．
由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）之间的“弯曲度”，然后结合tφ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．