Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①?x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x＞0），且f（2）=1．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）求不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集．

Answer 1

分析：（1）先求f（-1）的值，令y=-1，推出f（-x）=f（x）+f（-1），f（-x）=f（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义，直接判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）通过（1），（2）奇偶性，单调性，直接求函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）利用函数单调性，奇偶性，不等式f（3x-2）+f（x）≥4，转化为|x（3x-2）|≥16，然后求出不等式的解集．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
再令x=y=-1，则f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0．
对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，
则f（-x）=f（x）+f（-1），所以f（-x）=f（x）．
又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则有

x2

x1

＞1．
又∵当x＞1时，f（x）＞0，
∴f(

x2

x1

＞0．)
而f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（6分）
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，
∴f（4）=2．
又由（1）知函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上是偶函数且在（0，4]上是增函数，
∴函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值为f（4）=f（-4）=2（9分）
（4）∵f（3x-2）+f（x）=f[x（3x-2）]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16）
∴原不等式等价于f[x（3x-2）]≥f（16）
又函数f（x）为偶函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴原不等式又等价于|x（3x-2）|≥16，
即x（3x-2）≥16或x（3x-2）≤-16，
∴不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集为{x|x≤-2，或x≥

8

3

}（12分）

点评：本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，抽象函数及其应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．