【题目】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
总计 |
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
【答案】(1)能(2)①②见解析
【解析】分析:(1)由统计数据填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(2)①求抽到1人是45岁以下的概率,再求抽到1人是45岁以上的概率,
②根据题意知的可能取值,计算对应的概率值,写出随机变量的分布列,计算数学期望值.
详解:(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人,故填充列联表如下:
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | 35 | 45 | 80 |
不支持 | 15 | 5 | 20 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
因为的观测值,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
(2)①抽到1人是45岁以下的概率为,抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为,故所求概率.
②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.
,,.
故随机变量的分布列为:
0 | 1 | 2 | |
所以.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: (a>b>0)的离心率为,焦距为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,⊙M的半径为|MC|,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
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【题目】已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象上的任意两点,且角φ的终边经过点,若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,OB、CD是两条互相平行的笔直公路,且均与笔直公路OC垂直(公路宽度忽略不计),半径OC=1千米的扇形COA为该市某一景点区域,当地政府为缓解景点周边的交通压力,欲在圆弧AC上新增一个入口E(点E不与A、C重合),并在E点建一段与圆弧相切(E为切点)的笔直公路与OB、CD分别交于M、N.当公路建成后,计划将所围成的区域在景点之外的部分建成停车场(图中阴影部分),设∠CON=θ,停车场面积为S平方千米.
(1)求函数S=f(θ)的解析式,并写出函数的定义域;
(2)为对该计划进行可行性研究,需要预知所建停车场至少有多少面积,请计算当θ为何值时,S有最小值,并求出该最小值.
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【题目】四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,, , 是中点,点在侧棱上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若是中点,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,圆,点是圆上一动点,线段的中垂线与线段交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若直线与曲线相交于两点,且存在点(其中不共线),使得被轴平分,证明:直线过定点.
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【题目】盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.
(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;
(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
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【题目】已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形, = 4且 ⊥底面,点为的中点.
(Ⅰ)求证: 面 ;
(Ⅱ)在边上找一点,使∥面,
并求三棱锥的体积.
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【题目】已知函数的图象为不间断的曲线,定义域为,规定:
①如果对于任意,都有,则称函数是凹函数.
②如果对于任意,都有,则称函数是凸函数.
(1)若函数(且)是凹函数,试写出实数的取值范围;(直接写出结果,无需证明);
(2)判断函数是凹函数还是凸函数,并加以证明;
(3)若对任意的且,,试证明存在,使.
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