分析 (I)根据$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B为AD的中点,利用AB⊥BF,可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0,从而可得轨迹C的方程;
(Ⅱ)斜率为$\frac{1}{2}$的直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b,代入y2=4x,整理,利用韦达定理,结合斜率公式,即可求k1+k2的取值范围.
解答 解:(I)设D(x,y),则由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B为AD的中点,
所以A(-x,0),B(0,$\frac{y}{2}$)
∵AB⊥BF,∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0,
∴(x,$\frac{y}{2}$)•(1,-$\frac{y}{2}$)=0
∴y2=4x(x≠0);
(Ⅱ)斜率为$\frac{1}{2}$的直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b,代入y2=4x,整理可得x2+(4b-16)x+4b2=0,
△=(4b-16)2-16b2>0,∴b<2
设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴x1+x2=16-4b,x1x2=4b2.
k1+k2=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{(\frac{1}{2}{x}_{1}+b){x}_{2}+(\frac{1}{2}{x}_{2}+b){x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{b}$,
∵b<2,∴$\frac{4}{b}$<0或$\frac{4}{b}$>2,
∵k1+k2的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
点评 本题考查求轨迹方程,考查向量知识的运用,解题的关键是用好向量,挖掘隐含,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a2 | B. | $\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0 | C. | $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\sqrt{2}$a2 | D. | $\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=a2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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